입도분석의 기본원리-2

 

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수 분포 와 부피 분포 

 

 

  위의 예는 New Scientist (1991 년 10 월 31 일)로부터 나온 것이다. 우주안에서 지구의 궤도를 도는 것과 그것들의 규칙적인 궤도를 목적으로 사람이 지정한 큰 숫자가 있다. 과학자들은 또한 그것들의 크기를 기초로 해서 그룹을 분류했다. 만약 우리가 위의 세 번째 단락을 조사한다면 우리는 정확하게 모든 입자의 99.3%가 믿을 수 없을 정도로  작다는 것을 추론할 수 있을 것이다. 이것은 숫자를 기본으로 한 data 를 평가하는 것이다. 그러나, 만약 우리가 네 번째 단락을 조사해보면 사실상 모든 물체는 10-1000cm 사이라는 것을 정확하게 추론할 수 있을 것이다.  이것이 모든 물체의 질량이다. 개수와 질량의 분포는 매우 다르며 우리는 우리가 사용하는 분포에 의존한 결론이 다를지 모른다는 것을 주목해야 한다. 그리고 어느 것도 분포가 정확하지 않다. Data 는 단지 다른 방법으로 조사한 것이다. 예를 들어, 만약 우리가 우주복을 만든다면 7000 의 큰 물체들을 피하기가 쉽고 모든 경우의 99.96%를 주의해야 한다고 말할지도 모른다. 그러나, 우주복에서 가장 중요한 것은 숫자에 의한 99.3%의 작은 입자에 대해 보호하는 것이다. 만약 우리가 위 표의 분포들의 평균을 계산한다면 수평균은 약 1.6cm 이고 질량 평균은 약 500cm 임을 알아야 할 것이다. – 그 만큼 매우 달라지는 것이다.

 

수, 길이, 부피/질량 분포의 상호 전환

 

  만약 전자현미경으로 입자를 측정한다면 앞의 내용(다른 기술은 다른 평균을 제공한다)으로 부터 D[1,0] 또는 수-길이평균 크기를 계산하고 있는 것을 알 수 있다. 만약 우리가 정말 요구하는 것이 질량 또는 부피의 평균 크기라면 수 평균을 질량 평균으로 바꿔야 한다. 수학적으로, 이것은 쉽게 실행 가능하지만, 우리는 이와 같은 변환의 결과를 측정해봐야 한다.

 

 전기적 측정 기술이 평균 크기에서 오차가 +-3% 받는다고 생각해보자. 우리가 수 평균 크기를 질량평균 크기로 바꿀 때 질량평균은 직경의 입방체 함수로써 그때 오차는 마지막 값의 세제곱이 되거나 +-27% 가 될 것이다. 

 











  그러나 , 만약 레이저 확산으로 질량 또는 부피분포를 계산한다면 상황은 달라질 것이다.

 

  용액분산법의 재순환 조건 하에 안정한 시료를 측정하는 경우 +- 0.5%의 재사용 부피 평균을 발생시킬 수 있을 것이다.

 

  만약 지금 이러한 부피평균을 수 평균으로 바꾼다면 오차 또는 수 평균은 0.5%의 세제곱근 이거나 1.0%보다 더 작을 것이다.

 

  실제로 이것은 우리가 전자현미경을 사용하여 부피 또는 질량 분포를 원한다면, 10μ 한 개의 입자를 무시하거나 잃은 결과는 1μ 크기 천 개의 입자를 무시하거나 잃은 것과 같다는 것을 의미한다. 따라서 우리는 상호변환의 큰 위험성을 인식해야만 한다.

 

  Malvern Sizers 에서 Dos 와 Windows 소프트웨어 둘 다 다른 지름을 구하는 것을 계산할 것이다. 그러나 우리는 이 지름들을 구할 때 매우 조심해야 한다. 다른 방법(의미)들은 다음에 나오는 식들(Hatch-Choate 변형 식-Ref.7) 에 의해 서로 다르게 변환 될 수 있다.

 

 

측정 및 유도된 지름

 

  우리는 Malvern 레이저 회절 기술이 빛에너지 데이터 분석을 위한 부피 분포를 야기 시킨 다는 것을 보아 왔다. (Fraunhofer 분석에 의해 조사된 면적 분포가 가정되었다는 것에 주목한다.) 이 부피 분포는 위에 보여 진 것처럼 어떤 number 나 직경길이로 변환될 수 있다.

 

  그러나, 어떤 분석 기술에서 우리는 이런 변환 된 결과(전 section 의 “number 와 길이 그리고 부피 / 질량 평균 간의 상호 전환”)를 알아야 하고, 또한 평균직경은 실제로 기계에 의해 측정되고, 어떤 직경은 실제로 계산되거나 첫 번째 측정된 직경에 의해 구해지는 것을 알아야 한다.

 

  다른 기술들은 몇몇의 이미 측정된 직경들로부터 또 다른 직경들을 구할 수 있을 것이다. 예를 들어, 현미경은 D[1,0]을 측정 할 것이고 이것으로부터 다른 직경들을 구할 수 있을 것이다.

 

  우리는 구해진 직경들 보다 측정된 직경들을 더욱 신뢰할 수 있다. 실제로 몇몇 실(제)예에서 구해진(계산된) 특성에 의존하는 것은 매우 위험할 수 있다. 예를 들어, Malvern 분석 표는 우리에게 특정 표면적(m/cc 또는
m/gm)을 제시한다.

 

  우리는 표를 완전히 받아들이지 않아야한다. – 실제로, 만약 우리가 정말로 원하는 것이 물질의 특수한 표면적이라면 우리는 표면적을 계산 할 수 있는 특수한 기술인 B.E.T 또는 mercury porosimetry 를 사용해야 할 것이다.

 

어떠한 수를 사용할 것인가?

 

  이미 알고 있는 또 다른 기술은 입자의 다른 성질(혹은 크기)을 측정하고, 우리는 다른 평균 결과(D[4,3], D[3,2] 등)를 얻기 위한 많은 다른 방법 안에서 데이터를 사용해야 할 것이다. 그렇다면 우리는 왜 number 를 사용해야 할까?

 

  1 과 10units 인 구의 지름들을 간단한 예로 알아보자. 우리가 금을 만들고 있다고 가정해보자. 만약 우리가 간단한 수 평균 직경을 계산한다면 이것은 다음과 같이 주어진다.

 

 

 

  따라서 우리는 system 안에서 입자의 평균크기 는 5.50 units 라고 가정할 수 있을 것이다. 그러나 우리가 만약 우리가 금을 만들고 있다면 물질의 무게에 관심을 두어야 할 것이라는 것을 기억해야 한다.

 

  예를 들어 만약 우리가 공정의 경향성을 알고 있다면 우리는 그곳에 350 만개의 입자가 들어 있다는 것에는 흥미가 없을 것이다. 그보다 우리는 1kg 이나 2kg 의 금이 있다는 것에 흥미를 둘 것이다.

 

  질량평균이 직경의 입방체 함수라는 것을 기억하면 우리는 직경 1unit 인 구는 1unit 의 질량을 가지는 것을 알 수 있고, 직경 10units 인 구는 10=1000 units 의 질량을 가지는 것을 알 수 있을 것이다.

 

  그것은 더 큰 구는 system 의 총 질량의 1000/1001 부분을 만든다는 것을 말한다. 만약 우리가 금을 만들고 있다면 우리는 1unit 인 구(sphere)는 던져 버릴 수 있을 것이다. 왜냐하면 우리는 system 총질량의 0.1% 보다
적게 잃을 것이기 때문이다. 따라서 수 평균은 시스템에서 도출된 질량에서 틀림없이 야기 될 것이다. 이것은
D[4.3]에서 좀 더 유용하다.

 

  우리의 두 가지 구의 예시 속에서 질량이나 부피 평균 모멘트는 다음과 같은 식처럼 계산 되어 질 것이다.

 

 

 

  이 수치는 우리에게 system 에서의 질량이 어디에 놓이는지 보여주고, 화학 공정 엔지니어에게는 가치 있는
수치가 된다.

 

  그러나 우리가 clean room 안에서 실리콘이나 갈륨 arsenide wafers 를 만들고 있다고 가정해보자. 여기 만약 한 입자가 wafer 위에 놓여 진다면 defect 가 일어날 경향이 있다. 이러한 실제 예에서 보면 입자의 수나 농도가 매우 중요하다. 왜냐하면 1 개의 입자는 1 개의 defect 이기 때문에 우리는 직접적으로 입자들의 특정 개수나 입자들의 농도를 직접적으로 측정할 수 있는 기술을 사용하는 것을 원하게 된다. 본질적으로 이것은 입자 총수 와 입자 크기 간에는 다르다. 총 개수의 경우 우리는 각각의 입자를 기록하고 센다. 크기는 덜 중요하다. 그리고 우리는 오직 한계에 다다른 양의 크기의 스케일을 필요로 한다(8 에서 말함). 크기 적 관점에서 확실한 크기의 입자들은 크기나 입자들의 크기 기여도에 비해 관련이 적다. 그리고 우리들은 더욱 size bands 를 필요로 한다.

 

  천식환자를 위한 1 회 분량의 인공호흡기를 측정해보면 약물의 농도와 입자 사이즈 기여도는 둘 다 중요하다.

 

평균, 중위수, 최빈수 – 기본 통계 

 

평균(Mean)

 

  이것은 데이터의 어떤 산술평균이다. 입자들을 계산 할 수 있는 많은 평균이 있다. (section D[4,3]등을 참조)

 

중위수(Median)

 

  이것은 정확히 모집단을 두 개로 동일하게 나누는 입자사이즈의 값이다. 예를 들면 위 값의 분포의 50%와
아래의 50%를 말한다. 

 

최빈수(Mode)

 

  도수 곡선의 가장 높은 점과 같은 값은 도수 분포의 가장 흔한 값이다. 이 분포가 Nomal 혹은 Gaussian
분포라고 생각해보자. 평균, 중앙값, 최빈값은 정확히 같은 위치에 놓일 것이다. Fig 4 를 보아라. 그러나 이 분포가 보기 5 와 같이 두 가지 모드(바이모달)라고 생각해보자.

 

 

 

  평균 직경은 그래프에서 보이는 대로 거의 정확히 두 개의 분포 사이에 있을 것이다. 이런 평균 사이즈의 입자는 없다는 것을 유념해라. 중앙값 직경은 두 분포 중 높은 쪽으로 1%정도에 있을 것이다. 왜냐하면 이 포인트는 정확히 두 개의 분포로 나눌 것이기 때문이다. 최빈값은 더 높은 분포의 꼭지점일 것이다. 왜냐하면 이것은 직경의 가장 흔한 값이기 때문이다.



 

 

  분포 대칭에 의해 좌우되는 평균, 중앙값, 최빈값이 이상적이거나 심지어 같아야 할 이유는 없다고 이 예시는 설명하고 있다.


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